Danh sách Câu hỏi quan trọng toán lớp 12 | Câu hỏi về phương trình vi phân

Các câu hỏi & đáp quan trọng môn Toán lớp 12 - Phương trình vi phân

Câu hỏi 1: Xác định bậc và bậc (nếu xác định) của phương trình vi phân (y′′′) ² + (y″) ³ + (y′) ⁴ + y ⁵ = 0

Giải pháp:

Cho phương trình vi phân là (y′′′) ² + (y″) ³ + (y′) ⁴ + y ⁵ = 0

Đạo hàm bậc cao nhất có trong phương trình vi phân là y′′′.

Do đó, thứ tự của nó là 3.

Phương trình vi phân đã cho là một phương trình đa thức theo y′′′, y′′, và y′.

Lũy thừa cao nhất của y′′′ là 2.

Do đó, bậc của nó là 2.

• Phương trình vi phân là gì ? Định nghĩa phương trình vi phân | Các loại phương trình vi phân

Câu hỏi số 2: Chứng minh rằng hàm số y = a cos x + b sin x, trong đó, a, b ∈ R là một nghiệm của phương trình vi phân d ² y/dx ² + y=0.

Giải pháp:

Hàm số đã cho là y = a cos x + b sin x … (1)

Đạo hàm cả hai vế của phương trình (1) theo x,

dy/dx = – a sinx + b cos x

d ² y/dx ² = – a cos x – b sinx

LHS = d ² y/dx ² + y

= – a cos x – b sinx + a cos x + b sin x

= 0

= RHS

Do đó, hàm đã cho là nghiệm của phương trình vi phân đã cho.

• Phương trình vi phân thông thường | Phương trình vi phân tuyến tính thông thường

Câu 3: Số các hằng tùy ý trong nghiệm chung của phương trình vi phân cấp 4 là:

(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4

Giải pháp:

Ta biết rằng số hằng số trong nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân bậc n bằng chính bậc của nó.

Do đó, số hằng số trong phương trình tổng quát của phương trình vi phân cấp bốn là bốn.

Do đó, câu trả lời đúng là D.

Lưu ý: Số hằng số trong nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n bằng 0.

Câu hỏi số 4: Lập phương trình vi phân biểu diễn họ đường cong y = a sin(x + b), trong đó a, b là các hằng số tùy ý.

Giải pháp:

Được cho,

y = a sin (x + b) … (1)

Đạo hàm cả hai vế của phương trình (1) theo x,

dy/dx = a cos(x + b) … (2)

Đạo hàm một lần nữa trên cả hai vế đối với x,

d ² y/dx ² = – a sin (x + b) … (3)

Loại bỏ a và b khỏi phương trình (1), (2) và (3),

d ² y/ dx ² + y = 0 … (4)

Phương trình trên không chứa các hằng số tùy ý a và b.

Đây là phương trình vi phân cần thiết.

Câu 5: Tìm phương trình vi phân của họ đường thẳng qua gốc tọa độ.

Giải pháp:

Gọi y = mx là họ các đường thẳng qua gốc tọa độ.

Do đó, dy/dx = m

Loại bỏ m, (thay m = y/x)

y = (dy/dx) . x

hoặc là

x. dy/dx – y = 0

Câu 6: Lập phương trình vi phân họ đường tròn có tâm nằm trên trục y và bán kính 3 đơn vị.

Giải pháp:

Phương trình tổng quát của họ các đường tròn có tâm nằm trên trục y là x ² + (y – b) ² = r ²

Biết bán kính hình tròn là 3 đơn vị.

Bộ vi sai; phương trình của họ các đường tròn có tâm nằm trên trục y và bán kính 3 đơn vị như sau:

x ² + (y – b) ² = 3 ²

x ² + (y – b) ² = 9……(i)

Vi phân (i) đối với x,

2x + 2(y – b).y′ = 0

⇒ (y–b). y′ = -x

⇒ (y – b) = -x/y′…….(ii)

Thay (ii) vào (i),

x ² + (-x/y′) ² = 9

⇒ x ² [1 + 1/(y′) ² ] = 9

⇒ x ² [(y′) ² + 1) = 9 (y′) ²

⇒ (x ² – 9) (y′) ² + x ² = 0

Do đó, đây là phương trình vi phân cần thiết.

Câu hỏi số 7: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dy/dx =1+y ² /1+x ² .

Giải pháp:

Cho phương trình vi phân là dy/dx =1+y ² /1+x ²

Vì 1 + y ² ≠ 0, do đó bằng cách tách các biến, phương trình vi phân đã cho có thể được viết là:

dy/1+y ² = dx/1+x ² …….(i)

Tích phân phương trình (i) trên cả hai vế,

tan ^-1 y = tan ^-1 x + C

Đây là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho.