Phương trình vi phân thông thường | Phương trình vi phân tuyến tính thông thường
Ngày 26/01/2023 - 09:01Trường hợp các dạng phương trình vi phân khác có thể có đạo hàm của hàm nhiều biến. Các loại DE là phương trình vi phân từng phần , phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến tính, phương trình vi phân thuần nhất và không thuần nhất.
Phương trình vi phân thông thường là gì
Trong toán học, thuật ngữ “ Phương trình vi phân thông thường ” còn được gọi là ODE là một phương trình chỉ chứa một biến độc lập và một hoặc nhiều đạo hàm của nó đối với biến đó. Nói cách khác, ODE được biểu diễn dưới dạng mối quan hệ có một biến độc lập x, biến phụ thuộc thực y, với một số đạo hàm của nó.
y',y”, ….y n ,…đối với x.
Bậc của phương trình vi phân thường
Bậc của các phương trình vi phân thường được định nghĩa là bậc của đạo hàm cao nhất xuất hiện trong phương trình. Dạng tổng quát của ODE bậc n được cho là;
F(x, y,y',….,y n ) = 0
Lưu ý rằng, y' có thể là dy/dx hoặc dy/dt và y n có thể là d n y/dx n hoặc d n y/dt n .
Một phương trình vi phân thường cấp n là tuyến tính nếu nó có thể được viết dưới dạng;
a 0 (x)y n + a 1 (x)y n-1 +…..+ a n (x)y = r(x)
Hàm a j (x), 0 ≤ j ≤ n được gọi là các hệ số của phương trình tuyến tính. Phương trình được gọi là thuần nhất nếu r(x) = 0. Nếu r(x)≠0, nó được gọi là phương trình không thuần nhất. Ngoài ra, học phương trình vi phân cấp một tại đây.
Các loại
Phương trình vi phân thường được phân thành ba loại. Họ đang:
- ODE tự trị
- ODE tuyến tính
- ODE phi tuyến tính
Phương trình vi phân thông thường tự trị
Một phương trình vi phân không phụ thuộc vào biến, chẳng hạn như x được gọi là phương trình vi phân tự trị.
Phương trình vi phân tuyến tính thông thường
Nếu các phương trình vi phân có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các đạo hàm của y, thì chúng được gọi là phương trình vi phân thường tuyến tính. Chúng có thể được phân loại thành hai loại:
- Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
- Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
Phương trình vi phân thông thường phi tuyến tính
Nếu các phương trình vi phân không thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các đạo hàm của y, thì nó được gọi là phương trình vi phân thường phi tuyến tính.
Các ứng dụng
ODEs có những ứng dụng đáng chú ý và nó có khả năng dự đoán thế giới xung quanh chúng ta. Nó được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như sinh học, kinh tế, vật lý, hóa học và kỹ thuật. Nó giúp dự đoán sự tăng trưởng và suy giảm theo cấp số nhân, sự phát triển của quần thể và loài. Một số cách sử dụng ODE là:
- Mô hình hóa sự phát triển của bệnh
- Mô tả sự chuyển động của dòng điện
- Mô tả chuyển động của con lắc, sóng
- Được sử dụng trong định luật chuyển động thứ hai của Newton và Định luật làm mát
Các ví dụ của OD
Một số ví dụ về ODE như sau;
.png)
Ví dụ và lời giải
Các nghiệm của phương trình vi phân thông thường có thể được tìm thấy một cách dễ dàng với sự trợ giúp của tích phân. Đi qua ví dụ dưới đây và có được kiến thức về cách giải quyết vấn đề.
Câu hỏi 1:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân thường y'=2x+1
Giải pháp:
Cho trước, y'=2x+1
Bây giờ tích hợp trên cả hai mặt,
∫ y'dx = ∫ (2x+1)dx
y = 2x 2 /2 + x + C
y =x 2 + x + C
Trong đó C là một hằng số tùy ý.
Câu hỏi 2:
Giải y 4 y'+ y'+ x 2 + 1 = 0
Giải pháp:
Lấy, y' như phổ biến,
y'(y 4 +1)=-x 2 -1
Bây giờ lấy tích phân hai vế, ta được
.png)
Câu hỏi phương trình vi phân thông thường
Phương trình vi phân thông thường là gì? Cho một ví dụ.
Các loại phương trình vi phân thông thường là gì?
Phương trình vi phân thông thường tự động Phương trình vi phân
thông thường tuyến tính Phương trình vi phân thông thường
phi tuyến tính
Thứ tự của các phương trình vi phân thông thường là gì?
Một phương trình vi phân bình thường rõ ràng là gì?
F(x, y, y', …., y n-1 ) = y n
Một phương trình vi phân bình thường tiềm ẩn là gì?
F(x, y, y', y'', …., y n-1 ) = 0
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.png)
.png)
Bài viết liên quan
26/01/2023
26/01/2023