Phương trình vi phân là gì ? Định nghĩa phương trình vi phân | Các loại phương trình vi phân

Định nghĩa phương trình vi phân

Phương trình vi phân là phương trình chứa một hoặc nhiều số hạng và đạo hàm của một biến (tức là biến phụ thuộc) đối với biến kia (tức là biến độc lập)

dy/dx = f(x)

Ở đây “x” là biến độc lập và “y” là biến phụ thuộc

Ví dụ: dy/dx = 5x

Một phương trình vi phân chứa các đạo hàm là đạo hàm riêng hoặc đạo hàm thông thường. Đạo hàm biểu thị tốc độ thay đổi và phương trình vi phân mô tả mối quan hệ giữa đại lượng liên tục thay đổi đối với sự thay đổi của đại lượng khác. Có rất nhiều công thức phương trình vi phân để tìm nghiệm của đạo hàm.

Thứ tự của phương trình vi phân

Bậc của phương trình vi phân là bậc của đạo hàm bậc cao nhất có trong phương trình. Dưới đây là một số ví dụ về các bậc khác nhau của phương trình vi phân.

• dy/dx = 3x + 2 , Bậc của phương trình là 1
• (d ² y/dx ² )+ 2 (dy/dx)+y = 0. Thứ tự là 2
• (dy/dt)+y = kt. Thứ tự là 1

Phương trình vi phân bậc nhất

Bạn có thể thấy trong ví dụ đầu tiên, đó là một phương trình vi phân cấp một có bậc bằng 1. Tất cả các phương trình tuyến tính ở dạng đạo hàm đều ở dạng đạo hàm. Nó chỉ có đạo hàm bậc nhất chẳng hạn như dy/dx, trong đó x và y là hai biến và được biểu diễn dưới dạng:

dy/dx = f(x, y) = y'

Phương trình vi phân cấp hai

Phương trình bao gồm  đạo hàm cấp hai là phương trình vi phân cấp hai. Nó được biểu diễn dưới dạng;

d/dx(dy/dx) = d ² y/dx ² = f”(x) = y”

Bậc của phương trình vi phân

Bậc của phương trình vi phân là lũy thừa của đạo hàm bậc cao nhất, trong đó phương trình ban đầu được biểu diễn dưới dạng phương trình đa thức trong các đạo hàm như y',y", y"', v.v.

Giả sử (d ² y/dx ² )+ 2 (dy/dx)+y = 0 là một phương trình vi phân nên bậc của phương trình này ở đây là 1. Xem thêm một số ví dụ tại đây:

• dy/dx + 1 = 0, độ là 1
• (y”') ³ + 3y” + 6y' – 12 = 0, bậc là 3
• (dy/dx) + cos(dy/dx) = 0; nó không phải là một phương trình đa thức theo y′ và không thể xác định được bậc của một phương trình vi phân như vậy.

Lưu ý:
Bậc và bậc (nếu xác định) của một phương trình vi phân luôn là các số nguyên dương.

Các loại phương trình vi phân

Phương trình vi phân có thể được chia thành nhiều loại cụ thể là

• Phương trình vi phân thường
• Phương trình vi phân từng phần
• Phương trình vi phân tuyến tính
• phương trình vi phân phi tuyến
• Phương trình vi phân thuần nhất
• Phương trình vi phân không thuần nhất

Phương trình vi phân thường

Một phương trình vi phân thông thường liên quan đến chức năng và đạo hàm của nó. Nó chỉ chứa một biến độc lập và một hoặc nhiều đạo hàm của nó đối với biến đó.

Bậc của phương trình vi phân thường được định nghĩa là bậc của đạo hàm cao nhất xuất hiện trong phương trình. Dạng tổng quát của ODE bậc n được cho là

F(x, y, y',…., y ⁿ ) = 0

Giải phương trình vi phân

Một hàm thỏa mãn phương trình vi phân đã cho được gọi là nghiệm của nó. Nghiệm chứa nhiều hằng số tùy ý bằng cấp của phương trình vi phân được gọi là nghiệm tổng quát. Nghiệm không chứa các hằng tùy ý được gọi là nghiệm riêng. Có hai phương pháp để tìm nghiệm của phương trình vi phân.

1. Tách các biến
2. yếu tố tích hợp

Việc tách biến được thực hiện khi phương trình vi phân có thể được viết dưới dạng dy/dx = f(y)g(x) trong đó f chỉ là hàm của y và g chỉ là hàm của x. Lấy điều kiện ban đầu, viết lại bài toán này dưới dạng 1/f(y)dy= g(x)dx rồi tích phân cả hai vế.

Kỹ thuật lấy nhân tử tích phân được sử dụng khi phương trình vi phân có dạng dy/dx + p(x)y = q(x) trong đó p và q đều chỉ là hàm của x.

Phương trình vi phân cấp một có dạng y'+ P(x)y = Q(x). trong đó P và Q đều là hàm của x và là đạo hàm bậc nhất của y. Phương trình vi phân cấp cao là phương trình chứa đạo hàm của một hàm chưa biết có thể là đạo hàm riêng hoặc đạo hàm thông thường. Nó có thể được biểu diễn theo thứ tự bất kỳ.

Chúng tôi cũng cung cấp một bộ giải phương trình vi phân để tìm nghiệm cho các bài toán liên quan.

Các ứng dụng

Phương trình vi phân có một số ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như toán học ứng dụng, khoa học và kỹ thuật. Ngoài các ứng dụng kỹ thuật, chúng còn được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề thực tế trong cuộc sống. Hãy cho chúng tôi xem một số ứng dụng phương trình vi phân trong thời gian thực.

1) Các phương trình vi phân mô tả các sự tăng trưởng và suy giảm hàm mũ khác nhau.

2) Chúng cũng được sử dụng để mô tả sự thay đổi về lợi tức đầu tư theo thời gian.

3) Chúng được sử dụng trong lĩnh vực khoa học y tế để mô hình hóa sự phát triển của ung thư hoặc sự lây lan của bệnh trong cơ thể.

4) Chuyển động của điện cũng có thể được mô tả với sự trợ giúp của nó.

5) Chúng giúp các nhà kinh tế tìm ra các chiến lược đầu tư tối ưu.

6) Chuyển động của sóng hoặc con lắc cũng có thể được mô tả bằng các phương trình này.

Nhiều ứng dụng khác trong kỹ thuật là: phân tích dẫn nhiệt, trong vật lý, nó có thể được sử dụng để hiểu chuyển động của sóng. Phương trình vi phân thông thường có thể được sử dụng như một ứng dụng trong lĩnh vực kỹ thuật để tìm mối quan hệ giữa các phần khác nhau của cây cầu.

Bây giờ, hãy xem qua các ví dụ về phương trình vi phân trong các ứng dụng thực tế.

Phương trình vi phân tuyến tính Ví dụ trong thế giới thực

Để hiểu phương trình vi phân, chúng ta hãy xem xét ví dụ đơn giản này. Bạn đã bao giờ nghĩ tại sao một tách cà phê nóng lại nguội đi khi được giữ ở điều kiện bình thường chưa? Theo Newton, việc làm mát một vật thể nóng tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa nhiệt độ T của nó  và nhiệt độ T ₀  của xung quanh nó. Tuyên bố này về mặt toán học có thể được viết là:

dT/dt ∝ (T – T ₀ )…………(1)

Đây là dạng của một phương trình vi phân tuyến tính.

Giới thiệu hằng số tỷ lệ k , phương trình trên có thể được viết là:

dT/dt = k(T – T ₀ )    …………(2)

Ở đây, T là nhiệt độ của cơ thể  và t là thời gian,

T ₀ là nhiệt độ xung quanh,

dT/dt  là tốc độ làm mát cơ thể

Ví dụ: dy/dx = 3x

Ở đây, phương trình vi phân chứa một đạo hàm liên quan đến một biến (biến phụ thuộc, y) ghi một biến khác (biến độc lập, x). Các loại phương trình vi phân là:

1. Một phương trình vi phân thường chứa một biến độc lập và các đạo hàm của nó. Nó thường được gọi là ODE. Định nghĩa chung của phương trình vi phân thường có dạng: Cho một F, một hàm os x và y và đạo hàm của y, chúng ta có

F(x, y, y' …..y^(n1)) = y (n) là một phương trình vi phân thường tường minh cấp n.

2. Phương trình đạo hàm riêng chứa một hoặc nhiều biến độc lập.

Giải quyết vấn đề

Câu hỏi:

Xác minh rằng hàm y  = e ^-3x là nghiệm của phương trình vi phân

Câu hỏi thực hành phương trình vi phân

1. Tìm bậc và bậc, nếu được xác định, cho phương trình vi phân (dy/dx) – sin x = 0.
2. Chứng minh rằng hàm số y = a cos x + b sin x, trong đó, a, b ∈ R là một nghiệm của phương trình vi phân (d ² y/dx ² ) + y = 0.
3. Chứng minh rằng hàm số y = Ax, trong đó, a, b ∈ R là một nghiệm của phương trình vi phân xy' = y (x ≠ 0)