Định luật De Morgan và các tính chất bổ sung của một tập hợp

Phần bù của một Tập hợp là gì?

Phần  bù của một tập hợp  được định nghĩa là

A' = {x : x ∈ U và x ∉ A}

trong đó A' biểu thị phần bổ sung.

Phần bổ sung của Thuộc tính

i) Các luật bù:  Hợp của một tập hợp A và phần bù của nó A' tạo ra tập hợp phổ biến U trong đó A và A' là một tập hợp con.

Một ∪ A' = U

Ngoài ra, giao của tập hợp A và phần bù của nó A' cho tập hợp rỗng ∅.

Một ∩ A' = ∅

Ví dụ:  Nếu U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 } và A = {1 , 2 , 3 } thì A' = {4 , 5}. Từ đó có thể thấy rằng

A ∪ A' = U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5}

Cũng

Một ∩ A' = ∅

ii) Định luật bù đôi:  Theo định luật này nếu lấy phần bù của tập A' bù thì ta được chính tập hợp A.

(A')' = A

Trong ví dụ trước chúng ta có thể thấy rằng, nếu U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} và A = {1 , 2 ,3} thì A' = {4 , 5}. Bây giờ nếu chúng ta lấy phần bù của tập hợp 'A', chúng ta sẽ nhận được,

(A')' = {1 , 2 , 3} = A

Điều này mang lại cho chính tập hợp A.

iii) Luật tập hợp rỗng và tập phổ quát:

Theo định luật này, phần bù của tập phổ quát cho chúng ta tập rỗng và ngược lại, tức là,

∅' = U Và U' = ∅

Luật này là tự giải thích.

Để hiểu rõ hơn luật này, chúng ta hãy xem xét ví dụ sau:

Giải quyết vấn đề

Thí dụ: 

Một tập phổ biến U gồm tất cả các số tự nhiên là bội của 3, nhỏ hơn hoặc bằng 20. Gọi A là tập con của U gồm tất cả các số chẵn và tập B cũng là tập con của U gồm tất cả các số nguyên tố. Xác minh Luật De Morgan.

Lời giải:  Ta phải chứng minh (A ∪ B)' = A' ∩ B' và (A ∩ B)' = A'∪B'. Cho rằng,

U = {3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18}

A = {6 , 12 , 18}

B = {3}

Sự kết hợp của cả A và B có thể được đưa ra là,

A ∪ B = {3 , 6 , 12 , 18}

Sự bổ sung của liên minh này được đưa ra bởi,

(A ∪ B)'={9 , 15}

Ngoài ra, giao điểm và phần bù của nó được cho bởi:

Một ∩ B = ∅

(A ∩ B)' = {3 , 6 , 9 , 12 , 15 ,18}

Bây giờ, phần bù của tập hợp A và B có thể được đưa ra như sau:

A' = {3 , 9 , 15}

B' = {6 , 9 , 12 , 15 , 18}

Lấy hợp của cả hai tập hợp này, chúng tôi nhận được,

A'∪B' = {3 , 6 , 9 , 12 , 15 ,18}

Và giao điểm của các tập hợp bổ sung được đưa ra là,

A' ∩ B' = {9 , 15}

Chúng tôi có thể thấy điều đó:

(A ∪ B)' = A' ∩ B' = {9 , 15}

Và ngoài ra,

(A ∩ B)' = A' ∪ B' = {3 , 6 , 9 , 12 , 15 ,18}

Do đó, kết quả trên là đúng nói chung và được gọi là Định luật De Morgan.