Tính chất của số nguyên | Câu hỏi thường gặp kèm ví dụ Minh họa

Tính chất 1: 

Trong số các thuộc tính khác nhau của số nguyên, thuộc tính đóng trong phép cộng và phép trừ nói rằng tổng hoặc hiệu của hai số nguyên bất kỳ sẽ luôn là một số nguyên, tức là nếu x và y là hai số nguyên bất kỳ thì x + y và x − y cũng sẽ là một số nguyên .

Ví dụ 1: 3 – 4 = 3 + (−4) = −1;

(–5) + 8 = 3,

Kết quả là số nguyên.

Thuộc tính đóng trong phép nhân nói rằng tích của hai số nguyên bất kỳ sẽ là một số nguyên tức là nếu x và y là hai số nguyên bất kỳ thì xy cũng sẽ là một số nguyên.

Ví dụ 2: 6 × 9 = 54 ; (–5) × (3) = −15, là các số nguyên.

Phép chia các số nguyên không tuân theo tính chất bao đóng, tức là thương của hai số nguyên x và y bất kỳ, có thể là số nguyên hoặc không.

Ví dụ 3: (−3) ÷ (−6) = ½, không phải là số nguyên.

Tính chất 2: Tính chất giao hoán

Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân nói rằng thứ tự của các số hạng không quan trọng, kết quả sẽ giống nhau. Cho dù đó là phép cộng hay phép nhân, việc đổi chỗ các số hạng sẽ không làm thay đổi tổng hoặc tích. Giả sử x và y là hai số nguyên bất kỳ thì

⇒ x + y = y + x

⇒ x × y = y × x

Ví dụ 4: 4 + (−6) = −2 = (−6) + 4;

10 × (−3) = −30 = (−3) × 10

Nhưng, phép trừ (x − y ≠ y − x) và phép chia (x ÷ y ≠ y ÷ x) không có tính chất giao hoán đối với số nguyên và số nguyên.

Ví dụ 5: 4 − (−6) = 10 ; (−6) – 4 = −10

⇒ 4 − (−6) ≠ (−6) – 4

Ví dụ: 10 ÷ 2 = 5 ; 2 ÷ 10 = 1/5

⇒ 10 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 10

Tính chất 3: Tính chất kết hợp

Thuộc tính kết hợp của phép cộng và phép nhân nói rằng cách nhóm các số không thành vấn đề; kết quả sẽ giống nhau. Người ta có thể nhóm các số theo bất kỳ cách nào nhưng câu trả lời sẽ không thay đổi. Dấu ngoặc đơn có thể được thực hiện, bất kể thứ tự của các điều khoản. Gọi x, y, z là ba số nguyên bất kỳ thì

⇒ x + (y + z) = (x + y) + z

⇒ x × (y × z) = (x × y) × z

Ví dụ 6: 1 + (2 + (-3)) = 0 = (1 + 2) + (−3);

1 × (2 × (−3)) =−6 = (1 × 2) × (−3)

Phép trừ các số nguyên không có tính chất kết hợp tức là x − (y − z) ≠ (x − y) − z.

Ví dụ 7: 1−(2−(−3)) = −4; (1 – 2) – (−3) = −2

1 – (2 – (−3)) ≠ (1 − 2) − (−3)

Tính chất 4: Tính chất phân phối

Thuộc tính phân phối giải thích khả năng phân phối của hoạt động trên một hoạt động toán học khác trong một dấu ngoặc. Nó có thể là thuộc tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng hoặc thuộc tính phân phối của phép nhân đối với phép trừ. Ở đây, các số nguyên được cộng hoặc trừ trước rồi nhân hoặc nhân trước với mỗi số trong dấu ngoặc rồi cộng hoặc trừ. Điều này có thể được biểu diễn cho bất kỳ số nguyên x, y và z nào dưới dạng:

⇒ x × (y + z) = x × y + x × z

⇒ x × (y − z) = x × y − x × z

Ví dụ 8: −5 (2 + 1) = −15 = (−5 × 2) + (−5 × 1)

Tính chất 5: Tính chất cộng với 0

Trong số các thuộc tính khác nhau của số nguyên, thuộc tính nhận dạng phụ gia nói rằng khi bất kỳ số nguyên nào được thêm vào số 0, nó sẽ cho cùng một số. Số không được gọi là danh tính phụ gia. Với mọi số nguyên x,

x + 0 = x = 0 + x

Thuộc tính đơn vị nhân cho số nguyên nói rằng bất cứ khi nào một số được nhân với 1, nó sẽ cho chính số nguyên đó làm tích. Do đó, 1 được gọi là đơn vị nhân của một số. Với mọi số nguyên x,

x × 1 = x = 1 × x

Nếu bất kỳ số nguyên nào nhân với 0, sản phẩm sẽ bằng không:

x × 0 = 0 =0 × x

Nếu bất kỳ số nguyên nào nhân với -1, tích sẽ ngược lại với số:

x × (−1) = −x = (−1) × x