Tích phân xác định là gì? Tính chất của tích phân xác định

Tính chất tích phân xác định

Sau đây là danh sách các tính chất quan trọng của tích phân xác định dễ đọc và dễ hiểu.

Chứng minhtính chất của tích phân xác định

Tính chất 1: _p ∫ ^q  f(a) da = _p ∫ ^q  f(t) dt

Đây là tính chất đơn giản nhất vì chỉ cần thay thế a bằng t và thu được kết quả mong muốn.

Tính chất 2: _p ∫ ^q f(a) d(a) = – _q ∫ ^p  f(a) d(a), Ngoài ra _p ∫ ^p  f(a) d(a) = 0

Giả sử I = _p ∫ ^q f(a) d(a)

Nếu f' là nghịch hàm của f, thì hãy sử dụng định lý cơ bản thứ hai của giải tích, để có được I = f'(q)-f'(p) = – [f'(p) – f'(q)] = – _q ∫ ^p (a)da. Ngoài ra, nếu p = q, thì I= f'(q)-f'(p) = f'(p) -f'(p) = 0. Do đó, _a ∫ ^a f(a)da = 0.

Tính chất 3: _p ∫ ^q  f(a) d(a) = _p ∫ ^r  f(a) d(a) + _r ∫ ^q  f(a) d(a)

Nếu f' là nghịch hàm của f, thì sử dụng định lý cơ bản thứ hai của giải tích, để có được;

_p ∫ ^q  f(a)da = f'(q)-f'(p)… (1)

_p ∫ ^r f(a)da = f'(r) – f'(p)… (2)

_r ∫ ^q f(a)da = f'(q) – f'(r) … (3)

Hãy thêm các phương trình (2) và (3), để có được

_p ∫ ^r  f(a)daf(a)da + _r ∫ ^q  f(a)daf(a)da = f'(r) – f'(p) + f'(q)

= f'(q) – f'(p) = _p ∫ ^q  f(a)da

Tính chất 4: _p ∫ ^q f(a) d(a) = _p ∫ ^q  f( p + q – a) d(a)

Giả sử, t = (p+qa), hoặc a = (p+q – t), sao cho dt = – da … (4)

Ngoài ra, lưu ý rằng khi a = p, t = q và khi a = q, t = p. Vì vậy, _p ∫ ^q sẽ được thay thế bởi _q ∫ ^p khi chúng ta thay a bằng t. Vì vậy,

_p ∫ ^q  f(a)da = – _q ∫ ^p  f(p+qt)dt … từ phương trình (4)

Từ tính chất 2, chúng ta biết rằng _p ∫ ^q  f(a)da = – _q ∫ ^p  f(a)da. Sử dụng tài sản này, để có được

_p ∫ ^q  f(a)da = _p ∫ ^q  f(p+qt)dt

Bây giờ sử dụng tài sản 1 để có được

_p ∫ ^q  f(a)da = _p ∫ ^q  f(p + q – a )da

Tính chất 5:

Cho, t = (pa) hoặc a = (p – t), sao cho dt = – da …(5)

Ngoài ra, hãy quan sát rằng khi a = 0, t = p và khi a = p, t = 0.

Từ tính chất 2, chúng tôi biết rằng

Sử dụng tính chất này, chúng tôi nhận được

Tiếp theo, sử dụng Thuộc tính 1, chúng tôi nhận được

Tính chất 6:

Từ tính chất 3, ta biết rằng

Cho, t = (2p – a) hoặc a = (2p – t), sao cho dt = -da …(7)

Ngoài ra, lưu ý rằng khi a = p, t = p và khi a = 2p, t= 0.

Do đó, khi chúng ta thay a bằng t

Ví dụ về Tính chất của Tích phân Xác định

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng ₀ ∫ ^π/2 (2log sinx – log sin 2x)dx = – (π/2) log 2 bằng cách sử dụng các tính chất của tích phân xác định

Giải pháp:

Để chứng minh: ₀ ∫ ^π/2  (2log sinx – log sin 2x)dx = – (π/2) log 2 

Bằng chứng:

Giả sử I = ₀ ∫ ^π/2  (2log sinx – log sin 2x)dx …(1)

Bằng cách sử dụng tính chất của tích phân xác định

₀ ∫ ^a f(x) dx = ₀ ∫ ^a  f(ax) dx 

Áp dụng tính chất ở (1), ta được

 I = ₀ ∫ ^π/2  2log sin[(π/2)-x] – log sin 2[(π/2)-x])dx 

Biểu thức trên có thể được viết là

 I = ₀ ∫ ^π/2  [2log cosx- log sin(π-2x)]dx (Vì sin (90-θ = cos θ)

 I = ₀ ∫ ^π/2  [2log cosx- log sin2x]dx ..(2)

Bây giờ, thêm phương trình (1) và (2), chúng tôi nhận được

I+ I = ₀ ∫ ^π/2  [(2log sinx – log sin 2x) +(2log cosx- log sin2x)]dx

2I =  ₀ ∫ ^π/2  [2log sinx -2log 2sinx + 2log cos x]dx

2I = 2 ₀ ∫ ^π/2  [log sinx -log 2sinx + log cos x]dx

Bây giờ triệt tiêu 2 vế cả 2 vế ta được

I = ₀ ∫ ^π/2  [log sinx + log cos x- log 2sinx]dx

Bây giờ, áp dụng tính chất logarit, chúng tôi nhận được

I = ₀ ∫ ^π/2 log[(sinx. cos x)/sin2x]dx

Chúng ta biết rằng sin2x= 2 sinx cos x)

Bây giờ, biểu thức tích phân có thể được viết là

I = ₀ ∫ ^π/2 log[(sinx. cos x)/(2 sinx cos x)]dx

Bỏ các số hạng chung cả tử số và mẫu số ta được

I = ₀ ∫ ^π/2  log(1/2)dx

Nó có thể được viết như

I = ₀ ∫ ^π/2  (log1-log 2)dx [Vì, log (a/b) = log a- log b]

I = ₀ ∫ ^π/2  -log 2 dx (giá trị của log 1 = 0)

Bây giờ, lấy hằng số – log 2 bên ngoài tích phân,

I = -log 2 ₀ ∫ ^π/2 dx

Bây giờ, tích hợp chức năng

I = -log 2 [x] ₀ ^π/2

Bây giờ, thay thế các giới hạn

I = -log 2 [(π/2)-0]

I = – log 2 (π/2)

I= – (π/2) log 2 = RHS

Do đó, LH S = RHS

Vì thế. ₀ ∫ ^π/2  (2log sinx – log sin 2x)dx = – (π/2) log 2 được chứng minh.

Câu hỏi thường gặp về tính chất của tích phân xác định