Định lý Bayes | Tính tổng các góc của một tứ giác

Đạo hàm Định lý Bayes

Định lý Bayes có thể được dẫn xuất riêng cho các sự kiện và biến ngẫu nhiên bằng cách sử dụng định nghĩa về mật độ và xác suất có điều kiện.

Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, định lý Bayes có thể suy ra cho các sự kiện như dưới đây:

P(A|B) = P(A ⋂ B)/ P(B), trong đó P(B) ≠ 0

P(B|A) = P(B ⋂ A)/ P(A), trong đó P(A) ≠ 0

Ở đây, xác suất chung P(A ⋂ B) của cả hai sự kiện A và B đều đúng sao cho,

P(B ⋂ A) = P(A ⋂ B)

P(A ⋂ B) = P(A | B) P(B) = P(B | A) P(A)

P(A|B) = [P(B|A) P(A)]/P(B), trong đó P(B) ≠ 0

Tương tự, từ định nghĩa mật độ có điều kiện, có thể suy ra định lý Bayes cho hai biến ngẫu nhiên liên tục là X và Y như dưới đây:

Ví dụ và giải pháp

Một số minh họa sẽ cải thiện sự hiểu biết về khái niệm này.

Ví dụ 1:

Túi I chứa 4 bi trắng và 6 bi đen, còn túi II chứa 4 bi trắng và 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ một trong các túi, người ta thấy nó có màu đen. Tìm xác suất nó được rút ra từ Túi I.

Giải pháp:

Gọi E ₁ là biến cố chọn túi I, E ₂ là biến cố chọn túi II, A là biến cố lấy được bi đen.

Sau đó,

Ví dụ 2:

Một người đàn ông được biết là nói sự thật 2 trên 3 lần. Anh ta ném một con súc sắc và báo cáo rằng con số thu được là bốn. Tìm xác suất để số thu được thực sự là bốn.

Giải pháp:

Gọi A là biến cố người đàn ông báo đã lấy được số 4.

Gọi E ₁ là biến cố lấy được bốn và E ₂ là biến cố bù.

Khi đó, P(E ₁ ) = Xác suất xảy ra bốn lần = 1/6.

P(E ₂ ) = Xác suất bốn trường hợp không xảy ra = 1- P(E ₁ ) = 1 – (1/6) = 5/6.

Ngoài ra, P(A|E ₁ ) = Xác suất người đàn ông báo cáo là bốn và thực tế là bốn = 2/3

P(A|E ₂ )  = Xác suất người đàn ông báo cáo là bốn và đó không phải là bốn = 1/3.

Bằng cách sử dụng định lý Bayes, xác suất mà số thu được thực sự là một số bốn, P(E ₁ |A)

Ứng dụng Định lý Bayes

Một trong nhiều ứng dụng của định lý Bayes là suy luận Bayes, một cách tiếp cận cụ thể đối với suy luận thống kê. Suy luận Bayes đã tìm thấy ứng dụng trong nhiều hoạt động khác nhau, bao gồm y học, khoa học, triết học, kỹ thuật, thể thao, luật, v.v. Ví dụ: chúng ta có thể sử dụng định lý Bayes để xác định độ chính xác của kết quả xét nghiệm y tế bằng cách xem xét khả năng của bất kỳ người nào có bệnh và độ chính xác tổng thể của xét nghiệm. Định lý Bayes dựa trên việc hợp nhất các phân phối xác suất trước đó để tạo ra các xác suất sau. Trong suy luận thống kê Bayes, xác suất trước là xác suất của một sự kiện trước khi dữ liệu mới được thu thập.

Bài tập thực hành

Giải các bài toán sau bằng Định lý Bayes.

1. Một hộp đựng 5 viên bi đỏ và 5 viên bi đen. Một quả bóng được rút ngẫu nhiên, màu sắc của nó được đánh dấu và một lần nữa quả bóng được trả lại vào túi. Ngoài ra, 2 quả bóng bổ sung có màu đã vẽ được cho vào túi. Sau đó, quả bóng được rút ngẫu nhiên từ túi. Xác suất để quả bóng thứ hai lấy ra từ túi có màu đỏ là bao nhiêu?
2. Trong số sinh viên của trường, 60% sinh viên sống trong ký túc xá và 40% sinh viên là học giả ban ngày. Kết quả năm trước báo cáo rằng 30% tất cả học sinh ở trong ký túc xá đạt điểm A và 20% học sinh học ban ngày đạt điểm A. Vào cuối năm, một học sinh được chọn ngẫu nhiên và thấy rằng học sinh đó đạt điểm A. xác suất mà sinh viên là một ký túc xá là gì? 
3. Từ gói 52 thẻ, một thẻ bị mất. Từ các thẻ còn lại của một gói, hai thẻ được rút ra và cả hai đều được coi là thẻ kim cương. Xác suất mà thẻ bị mất là một viên kim cương là gì?

Ý nghĩa của định lý Bayes trong xác suất là gì?

Định lý Bayes khác với xác suất có điều kiện như thế nào?

Khi nào chúng ta có thể sử dụng định lý Bayes?

Công thức cho định lý Bayes là gì?

Chúng ta có thể sử dụng định lý Bayes ở đâu?

Tính tổng các góc của một tứ giác

Một góc được đo bằng độ (°). Góc tứ giác là góc tạo thành bên trong hình tứ giác. Tứ giác là đa giác đều có bốn cạnh, có thể có hoặc không có cạnh bằng nhau. Nó là một hình khép kín trong hai chiều và có các cạnh không cong. Tứ giác là đa giác có 4 đỉnh và 4 cạnh bao quanh 4 góc và tổng các góc bằng 360°. Khi chúng ta vẽ một đường chéo của tứ giác, nó sẽ tạo thành hai hình tam giác. Cả hai tam giác này có tổng các góc là 180°. Do đó, tổng các góc của tứ giác là 360°. Tổng các góc là một trong những tính chất của tứ giác. Trong bài viết này, w sẽ tìm hiểu các quy tắc tính tổng góc.

Theo tính chất tổng góc của một tứ giác, tổng của cả bốn góc trong là 360 độ.

Chứng minh: Trong tứ giác ABCD,

• ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA, ∠DAB là các góc trong.
• AC là một đường chéo
• AC chia tứ giác thành hai tam giác ∆ABC và ∆ADC

Chúng ta đã biết tổng các góc trong của một tứ giác bằng 360°, nghĩa là ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.

Hãy chứng minh rằng tổng bốn góc của một tứ giác bằng 360 độ.

• Chúng ta biết rằng tổng các góc trong một tam giác là 180°.
• Bây giờ xét tam giác ADC,

∠D + ∠DAC + ∠DCA = 180° (Tổng các góc trong một tam giác)

• Bây giờ xét tam giác ABC,

∠B + ∠BAC + ∠BCA = 180° (Tổng các góc trong một tam giác)

• Khi thêm cả hai phương trình thu được ở trên, chúng ta có,

(∠D + ∠DAC + ∠DCA) + (∠B + ∠BAC + ∠BCA) = 180° + 180°

∠D + (∠DAC + ∠BAC) + (∠BCA + ∠DCA) + ∠B = 360°

• Ta thấy (∠DAC + ∠BAC) = ∠DAB và (∠BCA + ∠DCA) = ∠BCD.
• Thay thế chúng ta có,

∠D + ∠DAB + ∠BCD + ∠B = 360°

• Đó là,

∠D + ∠A + ∠C + ∠B = 360°.

Hoặc, tổng các góc của một tứ giác là 360°. Đây là tính chất tổng các góc của tứ giác.

Góc tứ giác

Tứ giác có 4 góc. Tổng các góc bên trong của nó là 360 độ. Ta có thể tìm các góc của một tứ giác nếu biết 3 góc hoặc 2 góc hoặc 1 góc và 4 độ dài của tứ giác. Trong hình dưới đây, một Hình thang (cũng là một loại Hình tứ giác) được hiển thị.

Tổng tất cả các góc ∠A +∠B + ∠C + ∠D = 360°

Trong trường hợp hình vuông và hình chữ nhật, giá trị của tất cả các góc là 90 độ. Vì thế,

∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

Nói chung, một tứ giác có các cạnh có độ dài khác nhau và các góc có số đo khác nhau. Tuy nhiên, hình vuông, hình chữ nhật, v.v. là những loại hình tứ giác đặc biệt có một số cạnh và góc bằng nhau.

Cạnh đối diện trong tứ giác bằng 180 độ?

Không có mối quan hệ giữa cạnh đối diện và các góc của một tứ giác. Để chứng minh điều này, hình thang cân có độ dài các cạnh bằng số đo khác nhau, không có các góc đối diện 180 độ. Nhưng trong trường hợp một số tứ giác nội tiếp, chẳng hạn như hình vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, các góc đối diện là các góc bổ sung. Nó có nghĩa là các góc thêm tới 180 độ. Một cặp góc đối của tứ giác bằng nhau trong hình diều và hai cặp góc đối bằng nhau trong các tứ giác như hình thoi, hình bình hành. Điều đó có nghĩa là tổng các góc của tứ giác bằng 360 độ, nhưng không nhất thiết các góc đối diện trong tứ giác phải bằng 180 độ.

Các loại tứ giác

Về cơ bản có năm loại hình tứ giác. Họ đang;

1. Hình bình hành : Có các cạnh đối bằng nhau và song song với nhau.
2. Hình chữ nhật: Có các cạnh đối diện bằng nhau nhưng tất cả các góc đều bằng 90 độ.
3. Hình vuông: Mà tất cả bốn cạnh của nó bằng nhau và góc ở 90 độ.
4. Hình thoi: Là hình bình hành có tất cả các cạnh bằng nhau và các đường chéo của nó chia đôi nhau một góc 90 độ.
5. Hình thang: Chỉ có một cặp cạnh song song và các cạnh có thể không bằng nhau.

Ví dụ

1. Tìm góc thứ tư của một tứ giác có các góc là 90°, 45° và 60°.

Giải: Theo tính chất tổng góc ta biết;

Tổng tất cả các góc trong của một tứ giác = 360°

Đặt góc chưa biết là x

Vì thế,

90° + 45° + 60° + x = 360°

195° + x = 360°

x = 360° – 195°

x = 165°