Định lý trung điểm | Phát biểu định lý trung điểm | Chứng minh định lý trung điểm

Chứng minh định lý trung điểm

Nếu một đoạn thẳng nối với trung điểm của hai cạnh bất kỳ của một tam giác thì đoạn thẳng đó gọi là song song với cạnh thứ ba còn lại và số đo của nó bằng một nửa cạnh thứ ba.

Xét tam giác ABC như hình vẽ trên,

Gọi E, D là trung điểm của các cạnh AC, AB. Khi đó đường thẳng DE được gọi là song song với cạnh BC, trong khi cạnh DE bằng một nửa cạnh BC; tức là, DE || trước công nguyên

DE = (1/2*BC).

Bây giờ hãy xem xét hình bên dưới,

Cách dựng- Kéo dài đoạn thẳng DE và vẽ nó thành F sao cho EF = DE và nối CF.

Trong tam giác ADE và CFE,

EC = AE —– (đã cho)

∠CEF = ∠AED (hai góc đối đỉnh)

DE = EF ( Theo cách dựng )

Theo tiêu chí phù hợp SAS,

△ CFE ≅ △ ADE

Vì vậy,

∠CFE = ∠ADE {bởi ccct}

∠FCE= ∠DAE {bởi ccct}

và CF = AD {bởi ccct}

∠CFE và ∠ADE là các góc xen kẽ trong.

Giả sử CF và AB là hai đường thẳng cắt nhau bởi đường thẳng DF.

Tương tự, ∠FCE và ∠DAE là các góc xen kẽ trong.

Giả sử CF và AB là hai đường thẳng cắt nhau bởi AC.

Do đó, CF ∥ AB

Vì vậy, CF ∥ BD

và CF = BD {do BD = AD nên CF = AD}

Do đó, BDFC tạo thành một hình bình hành.

Theo tính chất của hình bình hành ta viết được

BC ∥ DF

và BC = DF

BC ∥ DE

và DE = (1/2 * BC).

Do đó, định lý trung điểm được chứng minh.

Công thức định lý trung điểm

Trong Hình học tọa độ, định lý trung điểm đề cập đến trung điểm của đoạn thẳng. Nó xác định các điểm tọa độ của điểm giữa của đoạn thẳng và có thể được tìm thấy bằng cách lấy giá trị trung bình của các tọa độ của các điểm cuối đã cho . Công thức trung điểm dùng để xác định trung điểm giữa hai điểm cho trước.

Nếu P ₁ (x ₁ , y ₁ ) và P ₂ (x ₂ , y ₂ ) là tọa độ của hai điểm cuối đã cho thì công thức trung điểm được cho là:

Trung điểm = [(x ₁  + x ₂ )/2, (y ₁  + y ₂ )/2]

Điều ngược lại của Định lý trung điểm

Định lý ngược lại của định lý trung điểm phát biểu rằng "nếu một đường thẳng được vẽ qua trung điểm của một cạnh của một tam giác và song song với cạnh kia thì nó chia đôi cạnh thứ ba".

Ví dụ định lý trung điểm

Ví dụ được đưa ra dưới đây để hiểu định lý trung điểm.

Thí dụ:

Cho tam giác ABC, trung điểm của BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Tìm giá trị của EF, nếu giá trị của BC = 14 cm

Giải pháp:

Cho: BC = 14 cm

Nếu F là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC thì theo định lý về trung điểm:

EF = 1/2 (TCN)

Thay thế giá trị của BC,

NẾU = (1/2) × 14

EF = 7 cm

Do đó, giá trị của EF = 7cm.

Định lý trung điểm cũng có thể được chứng minh bằng tam giác. Giả sử vẽ hai đường thẳng song song với trục x và trục y, bắt đầu từ các điểm cuối và được nối với nhau qua trung điểm, sau đó đoạn thẳng đi qua góc giữa chúng, tạo ra hai tam giác đồng dạng. Mối quan hệ của các tam giác này tạo thành Định lý Trung điểm.

Câu hỏi về tính chất trung điểm