Định lý cơ bản của giải tích | Phát biểu và chứng minh Định lý Apollonius

Trong bài viết này, chúng ta hãy thảo luận về định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai của giải tích, và đánh giá tích phân xác định bằng cách sử dụng các định lý một cách chi tiết.

Xét một hàm f theo x xác định trên khoảng [a, b]. Tích phân của f(x) giữa các điểm a và b, nghĩa là, _a ∫ ^b f(x) dx ,  i là diện tích mà tôi giới hạn bởi đường cong y = f(x) và các đường thẳng x = a, x =b và x – trục  _a ∫ ^x f(x) dx   mô tả diện tích của vùng được tô màu nâu trong đó x là một điểm nằm trong khoảng [a, b]. Giả sử rằng các giá trị được lấy bởi hàm này là không âm, đồ thị sau mô tả f theo x.

A(x) được gọi là hàm diện tích được cho là;

Tùy thuộc vào điều này, định lý cơ bản của Giải tích có thể được định nghĩa là hai định lý như được nêu dưới đây:

Định lý cơ bản đầu tiên của phép tính tích phân (Phần 1)

Phần đầu tiên của định lý giải tích đôi khi được gọi là định lý cơ bản đầu tiên của giải tích. Nó khẳng định rằng một trong các nguyên hàm (cũng có thể được gọi là tích phân bất định) chẳng hạn như F, của một hàm f nào đó, có thể nhận được dưới dạng tích phân của f với một giới hạn tích phân thay đổi. Từ điều này, chúng ta có thể nói rằng có thể có các nguyên hàm cho một hàm liên tục.

Phát biểu: Cho f là hàm liên tục trên khoảng đóng [a, b] và gọi A(x) là hàm diện. Khi đó A′(x) = f(x), với mọi x ∈ [a, b].

Hoặc là

Cho f là hàm giá trị thực liên tục xác định trên khoảng đóng [a, b]. Gọi F là hàm xác định, với mọi x thuộc [a, b], bởi:

Khi đó F liên tục đều trên [a, b] và khả vi trên khoảng mở (a, b) và

F'(x) = f(x) ∀ x ∈(a, b)

Ở đây, F'(x) là một hàm đạo hàm của F(x).

Xem video dưới đây để hiểu định lý cơ bản đầu tiên của giải tích

Định lý cơ bản thứ hai của phép tính tích phân (Phần 2)

Định lý cơ bản thứ hai của giải tích phát biểu rằng, nếu hàm số “f” liên tục trên khoảng đóng [a, b] và F là một tích phân bất định của hàm số “f” trên [a, b], thì định lý cơ bản thứ hai định lý của phép tính được định nghĩa là:

F(b)- F(a) = _a ∫ ^b f(x) dx

Ở đây RHS của phương trình biểu thị tích phân của f(x) đối với x.

f(x) là tích phân.

dx là tác nhân tích hợp.

'a' chỉ giới hạn trên của tích phân và 'b' chỉ giới hạn dưới của tích phân.

Hàm của một tích phân xác định có một giá trị duy nhất. Tích phân xác định của một hàm có thể được mô tả như một giới hạn của một tổng. Nếu có một nguyên hàm F của hàm số trong khoảng [a, b], thì tích phân xác định của hàm số là hiệu giữa các giá trị của F, nghĩa là F(b) – F(a).
 

Nhận xét về Định lý cơ bản thứ hai của Giải tích

• Phần thứ hai của định lý cơ bản của giải tích cho chúng ta biết rằng ∫ _a ^b f(x) dx = (giá trị của nguyên hàm F của “f” tại giới hạn trên b) – (cùng một giá trị nguyên hàm tại giới hạn dưới a).
• Định lý này rất có lợi vì nó cung cấp cho chúng ta một phương pháp ước lượng tích phân xác định nhanh hơn mà không cần xác định giới hạn của tổng.
• Khi ước lượng một tích phân xác định, thao tác cơ bản là tìm một hàm có đạo hàm bằng tích phân. Tuy nhiên, quá trình này sẽ củng cố mối quan hệ giữa phân hóa và tích hợp.
• Trong biểu thức ∫ _a ^b f(x) dx, hàm số f(x) hay còn gọi là “f” phải xác định rõ và liên tục trong khoảng [a, b].

hệ lụy

Định lý cơ bản thường được áp dụng để tính tích phân xác định của hàm f mà một nguyên hàm F đã biết. Đặc biệt, nếu f là một hàm liên tục giá trị thực trên [a, b] và F là một nguyên hàm của f trong [a, b], thì

Hệ quả cho phép tính liên tục trên khoảng hoàn chỉnh.

Làm thế nào để tính tích phân xác định?

Dưới đây là các bước để tính toán

• Xác định tích phân bất định của f(x) dưới dạng F(x). Cần lưu ý rằng hằng số tùy ý không được xét đến khi tính tích phân xác định vì nó tự triệt tiêu chính nó, nghĩa là,

• Tính F(b) – F(a) cho ta giá trị của tích phân xác định của f theo x nằm giữa khoảng đóng [a, b].

ví dụ

Q.1: Tính tích phân: ∫ ₂ ³  y ² dy
Giải: Cho I = ∫ ₂ ³  y ² dy
Như đã biết,
∫y ² dy = y ³ /3 = F(y)
Do đó, theo định lý giải tích cơ bản bậc hai , chúng tôi biết;
Tôi = F(3) – F(2) = 27/3 – 8/3 = 19/3

Câu hỏi 2: Tính tích phân: ∫ ₁ ² [ydy/(y+1)(y+2)] Lời
giải: Bằng phân số từng phần, chúng ta có thể đưa ra thừa số hạng dưới tích phân.
y/[(y+1)(y+2)] = [-1/(y+1)]+[2/(y+2)] Vì vậy,
∫y/[(y+1)(y+2 )] = -log|y+1|+2log|x+2| = F(y)
Do đó, theo định lý cơ bản của giải tích phần 2, ta có;
I = F(2)-F(1) = [– log 3 + 2 log 4] – [– log 2 + 2 log 3] I = – 3 log 3 + log 2 + 2 log 4
I = log(32/ 27)
 

Bài tập thực hành

Nhận thêm câu hỏi ở đây để thực hành để hiểu khái niệm một cách nhanh chóng.

Đánh giá bằng cách sử dụng định lý cơ bản của phép tính:

Định lý cơ bản đầu tiên của giải tích là gì?

Có bao nhiêu định lý cơ bản của giải tích?

4 khái niệm của giải tích là gì?

Định lý cơ bản thứ hai của giải tích là gì?

Ai là người đầu tiên chứng minh định lý cơ bản của giải tích?