Định lý Green là gì?Phát biểu Định lý Green
Ngày 09/01/2023 - 06:01Định lý Green được sử dụng để tích phân các đạo hàm trong một mặt phẳng cụ thể. Nếu một tích phân đường được cho, nó sẽ được chuyển đổi thành tích phân mặt hoặc tích phân kép hoặc ngược lại bằng cách sử dụng định lý này. Trong bài viết này, bạn sẽ tìm hiểu Định lý Green là gì, phát biểu, chứng minh, công thức, ứng dụng và ví dụ của nó một cách chi tiết.
Định lý Green là gì?
Định lý Green là một trong bốn định lý cơ bản của giải tích, trong đó cả bốn định lý này đều có quan hệ mật thiết với nhau. Khi bạn tìm hiểu về khái niệm tích phân đường và tích phân mặt , bạn sẽ biết định lý Stokes dựa trên nguyên lý liên kết các vòng tuần hoàn vĩ mô và vi mô như thế nào. Tương tự, định lý Green xác định mối quan hệ giữa tuần hoàn vĩ mô của đường cong C và tổng của tuần hoàn vi mô bên trong đường cong C.
.png)
Phát biểu Định lý Green
Gọi C là đường cong đơn, trơn, hướng dương trong mặt phẳng và D là miền giới hạn bởi C. Nếu L và M là các hàm của (x, y) xác định trên miền mở chứa D và có đạo hàm riêng liên tục, thì định lý Green được phát biểu là
.png)
Trong đó tích phân đường dẫn đi ngược chiều kim đồng hồ cùng với C.
Chứng minh Định lý Green
Bằng chứng của định lý Green được đưa ra ở đây. Theo mệnh đề, L và M là các hàm của (x, y) xác định trên miền mở, chứa D và có đạo hàm riêng liên tục. Vậy dựa vào điều này ta cần chứng minh:
.png)
.png)
.png)
.png)
Diện tích Định lý Green
Với sự trợ giúp của định lý Green, có thể tìm diện tích của các đường cong khép kín. Từ định lý Green,
.png)
Nếu trong công thức
.png)
Sau đó chúng tôi có,
.png)
Do đó, tích phân đường xác định bởi định lý Green cho diện tích của đường cong khép kín. Do đó, chúng ta có thể viết các công thức diện tích như sau:
.png)
Định lý Gauss xanh
Nếu Σ là mặt Z tương đương với hàm f(x, y) trên miền R và Σ nằm trong V thì
.png)
Nó rút gọn tích phân mặt thành tích phân kép thông thường.
Định lý Gauss của Green có thể được phát biểu từ biểu thức trên.
Nếu P(x, y, z), Q(x, y, z) và R((x, y, z) là ba điểm trên V và nó được giới hạn bởi vùng Σ* và α, β, và γ là các góc định hướng, thì
.png)
Ứng dụng Định lý Green
Định lý Green là trường hợp cụ thể của Định lý Stokes trong đó bề mặt nằm hoàn toàn trong mặt phẳng. Nhưng với những hình thức đơn giản hơn. Đặc biệt trong một trường vectơ trong mặt phẳng. Ngoài ra, nó được sử dụng để tính diện tích; vectơ tiếp tuyến với ranh giới được quay 90° theo chiều kim đồng hồ để trở thành vectơ pháp tuyến hướng ra ngoài để suy ra dạng phân kỳ của Định lý Green.
Vấn đề định lý Green
- Sử dụng công thức Green, tính tích phân đường ∮ C (xy)dx + (x+y)dy, trong đó C là đường tròn x 2 + y 2 = a 2 .
- Tính ∮ C -x 2 y dx + xy 2 dy , với C là đường tròn bán kính 2 tâm ở gốc tọa độ.
- Sử dụng Định lý Green để tính diện tích hình elip (x 2 /a 2 ) + (y 2 /b 2 ) = 1 với tích phân đường.
Để biết thêm các định lý và ví dụ liên quan đến Toán học, hãy tải xuống BYJU'S – Ứng dụng Học tập và cũng xem các video hấp dẫn để học một cách dễ dàng.
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.png)
.png)
Bài viết liên quan
10/01/2023
09/01/2023
10/01/2023
16/01/2023
16/01/2023
16/01/2023