Định lý giá trị trung bình là gì?Chứng minh định lý giá trị trung bình Định lý giá trị trung bình cho tích phân

Chứng minh định lý giá trị trung bình

Định lý giá trị trung bình có thể được chứng minh bằng cách sử dụng hệ số góc của đường thẳng. Giá trị là hệ số góc của đường đi qua (a,f(a)) và (b,f(b)). Do đó, kết luận Định lý giá trị trung bình, nó phát biểu rằng có một điểm 'c' tại đó đường tiếp tuyến song song với đường thẳng đi qua (a,f(a)) và (b,f(b)) .

Định lý giá trị trung bình cho tích phân

Định lý giá trị trung bình của tích phân là hệ quả trực tiếp của định lý cơ bản đầu tiên của phép tính và định lý giá trị trung bình. Định lý này phát biểu rằng nếu “f” liên tục trên khoảng bị chặn đóng, chẳng hạn [a, b], thì tồn tại ít nhất một số thuộc c thuộc (a, b), sao cho

Định lý giá trị trung bình cho phái sinh

Giả sử f là hàm số thực, liên tục, diễn tả trên một khoảng (I) tùy ý của đường thẳng thực. Nếu đạo hàm của hàm f tại mỗi điểm bên trong của I tồn tại và bằng 0, thì f là hằng số bên trong.

Chứng minh: Cho (a, b) là một khoảng mở tùy ý trong I. Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại điểm c thuộc (a,b) sao cho;

Điều này chỉ ra rằng f(a) = f(b). Do đó, f liên tục trên phần trong của I.

Ứng dụng định lý giá trị trung bình

Có một số ứng dụng của định lý giá trị trung bình. Định lý này được áp dụng trong:

• Quy tắc Leibniz
• Quy tắc L'Hospital
• Tính đối xứng của đạo hàm cấp hai
• Nếu f: (a, b) → R khả vi và f ' (x) = 0 với mọi x ∈ (a, b) thì “f” là hằng số
• Nếu f là tập mở trong R ⁿ và f : A → R ^m là hàm có đạo hàm riêng liên tục thì hàm “f” khả vi

Ví dụ định lý giá trị trung bình

Cho f(x) = 1/x, a = -1 và b=1.

Ta biết, f(b) – f(a)/ba

= 2/2 = 1

Trong khi, với mọi cϵ (-1, 1), không bằng 0, chúng ta có

f'(c) = -1/c ² ≠ 1

Do đó, phương trình f'(c) = f(b) – f(a) / b – a không có nghiệm nào trong c. Nhưng điều này không làm thay đổi Định lý Giá trị Trung bình vì f(x) không liên tục trên [-1,1].