Định lý nhị thức - Công thức nhị thức - Cách triển khai bài toán
Ngày 10/01/2023 - 09:01Giới thiệu về Định lý nhị thức
Định lý nhị thức là phương pháp khai triển một biểu thức đã được nâng lên lũy thừa hữu hạn bất kỳ. Định lý nhị thức là một công cụ mở rộng mạnh mẽ, có ứng dụng trong Đại số , xác suất, v.v.
Biểu thức nhị thức: Biểu thức nhị thức là một biểu thức đại số chứa hai số hạng khác nhau. Ví dụ: a + b, a 3 + b 3 , v.v.
Định lý nhị thức: Cho n ∈ N,x,y,∈ R thì
(x + y) n = n Σ r=0 nC r x n – r · y r trong đó,
.png)
Minh họa 1: Mở rộng (x/3 + 2/y) 4
.png)
Minh họa 2: (√2 + 1) 5 + (√2 − 1) 5
Chúng ta có
(x + y) 5 + (x – y) 5 = 2[5C 0 x 5 + 5C 2 x 3 y 2 + 5C 4 xy 4 ]
= 2(x 5 + 10 x 3 y 2 + 5xy 4 )
Bây giờ (√2 + 1) 5 + (√2 − 1) 5 = 2[(√2) 5 + 10(√2) 3 (1) 2 + 5(√2)(1) 4 ]
=58√2
Khai triển nhị thức
Những điểm quan trọng cần nhớ
- Tổng số các số hạng trong khai triển của (x+y) n là (n+1)
- Tổng các số mũ của x và y luôn là n.
- nC 0 , nC 1 , nC 2 , ….., nC n được gọi là các hệ số nhị thức và còn được biểu diễn bởi C 0 , C 1 , C 2 , ….., C n
- Các hệ số nhị thức cách đều đầu và cuối thì bằng nhau tức là nC 0 = nC n , nC 1 = nC n-1 , nC 2 = nC n-2 ,…..v.v.
Để tìm các hệ số nhị thức, chúng ta cũng có thể sử dụng Tam giác Pascal .
.png)
Một số mở rộng hữu ích khác:
- (x + y) n + (x−y) n = 2[C 0 x n + C 2 x n-1 y 2 + C 4 x n-4 y 4 + …]
- (x + y) n – (x−y) n = 2[C 1 x n-1 y + C 3 x n-3 y 3 + C 5 x n-5 y 5 + …]
- (1 + x) n = n Σ r-0 nC r . x r = [C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + … C n x n ]
- (1+x) n + (1 − x) n = 2[C 0 + C 2 x 2 +C 4 x 4 + …]
- (1+x) n − (1−x) n = 2[C 1 x + C 3 x 3 + C 5 x 5 + …]
- Số hạng trong khai triển của (x + a) n + (x−a) n là (n+2)/2 nếu “n” chẵn hoặc (n+1)/2 nếu “n” lẻ.
- Số hạng trong khai triển của (x + a) n − (x−a) n là (n/2) nếu “n” chẵn hoặc (n+1)/2 nếu “n” lẻ.
Tính chất của hệ số nhị thức
Hệ số nhị thức đề cập đến các số nguyên là hệ số trong định lý nhị thức. Một số tính chất quan trọng nhất của hệ số nhị thức là:
- C 0 + C 1 + C 2 + … + C n = 2 n
- C 0 + C 2 + C 4 + … = C 1 + C 3 + C 5 + … = 2 n-1
- C 0 – C 1 + C 2 – C 3 + … +(−1) n . nC n = 0
- nC 1 + 2.nC 2 + 3.nC 3 + … + n.nC n = n.2 n-1
- C 1 − 2C 2 + 3C 3 − 4C 4 + … +(−1) n-1 C n = 0 với n > 1
- C 0 2 + C 1 2 + C 2 2 + …C n 2 = [(2n)!/ (n!) 2 ]
Minh họa: Nếu (1 + x) 15 = a 0 + a 1 x + . . . . . + a 15 x 15 thì hãy tìm giá trị của
.png)
.png)
= C 1 /C 0 + 2 C 2 /C 1 + 3C 3 /C 2 + . . . . + 15C 15 /C 14
= 15 + 14 + 13 + . . . . . + 1 = [15(15+1)]/2 = 120
Số hạng trong khai triển nhị thức
Trong khai triển nhị thức, người ta thường yêu cầu tìm số hạng ở giữa hoặc số hạng tổng quát. Các số hạng khác nhau trong khai triển nhị thức được đề cập ở đây bao gồm:
- Thời hạn chung
- Trung hạn
- Thời hạn độc lập
- Xác định một thuật ngữ cụ thể
- số hạng lớn nhất
- Tỷ lệ số hạng/hệ số liên tiếp
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức:
Ta có (x + y) n = nC 0 x n + nC 1 x n-1 . y + nC 2 x n-2 . y 2 + … + nC n y n
Số hạng Chung = T r+1 = nC r x n-r . y r
- Số hạng Tổng quát trong (1 + x) n là nC r x r
- Trong khai triển nhị thức của (x + y) n , số hạng thứ r tính từ cuối là (n – r + 2) th .
Minh họa: Tìm số hạng của (1 + 2x +x 2 ) 50
(1 + 2x + x 2 ) 50 = [(1 + x) 2 ] 50 = (1 + x) 100
Số hạng = (100 + 1) = 101
Minh họa: Tìm số hạng thứ tư kể từ cuối trong khai triển của (2x – 1/x 2 ) 10
Số hạng bắt buộc =T 10 – 4 + 2 = T 8 = 10C 7 (2x) 3 (−1/x 2 ) 7 = −960x -11
Số hạng ở giữa(S) trong khai triển của (x+y) n. N
- Nếu n chẵn thì (n/2 + 1) Số hạng là số hạng ở giữa.
- Nếu n lẻ thì số hạng [(n+1)/2] thứ và [(n+3)/2) thứ là số hạng ở giữa.
Minh họa: Tìm số hạng chính giữa của (1 −3x + 3x 2 – x 3 ) 2n
Sol:
(1 − 3x + 3x 2 – x 3 ) 2n = [(1 − x) 3 ] 2n = (1 − x) 6n
Số hạng ở giữa = [(6n/2) + 1] số hạng = 6nC 3n (−x) 3n
Xác định một thuật ngữ cụ thể:
- Trong khai triển của(ax p + b/x q ) n hệ số của x m là hệ số của T r+1 trong đó r = [(np−m)/(p+q)]
- Trong khai triển của (x + a) n , T r+1 /T r = (n – r + 1)/r .
Thời hạn độc lập
Số hạng Không phụ thuộc vào khai triển của [ax p + (b/x q )] n là
T r+1 = n C r a n-r b r , trong đó r = (np/p+q) (số nguyên)
Minh họa: Tìm số hạng độc lập của x trong (x+1/x) 6
r = [6(1)/1+1] = 3
Số hạng độc lập là 6C 3 = 20
Minh họa: Tìm số hạng độc lập trong khai triển của:
.png)
.png)
(x 1/3 + 1 – 1 – 1/√x) 10 = (x 1/3 – 1/√x) 10
r = [10(1/3)]/[1/3+1/2] = 4
∴ T 5 = 10 C 4 = 210
Số hạng lớn nhất trong khai triển của (1+x) n :
- Nếu [(n+1)|x|]/[|x|+1] = P, là một số nguyên dương thì số hạng thứ P và (P+1) số hạng là số hạng lớn nhất trong khai triển của (1+ x) n
- Nếu[(n+1)|x|]/[|x|+1] = P + F, trong đó P là số nguyên dương và 0 < F < 1 thì (P+1) số hạng là số hạng lớn nhất trong khai triển của (1+x) n .
Minh họa: Tìm số hạng lớn nhất trong (1-3x) 10 khi x = (1/2)
[(n + 1)|α|] / [|α| + 1] = (11 × 3/2)/(3/2+1) = 33/5 = 6,6
Do đó, T 7 là số hạng lớn nhất.
T 6 + 1 = 10C 6 . (−3x) 6 = 10C 6 . (3/2) 6
Tỷ lệ số hạng/hệ số liên tiếp:
Hệ số của x r và x r + 1 lần lượt là nC r–1 và nC r .
(nC r / nC r – 1 ) = (n – r + 1) / r
Minh họa: Nếu hệ số của 3 số hạng liên tiếp trong khai triển (1+x) n tỉ lệ 1:7:42 thì tìm giá trị của n.
Gọi (r – 1) th , (r) th và (r + 1) th là ba số hạng liên tiếp.
Sau đó, tỷ lệ đã cho là 1:7:42
Bây giờ (nC r-2 / nC r – 1 ) = (1/7)
(nC r-2 / nC r – 1 ) = (1/7) ⇒ [(r – 1)/(n − r+2)] = (1/7) ⇒ n−8r+9=0 → (1 )
Và,
(nC r-1 / nC r ) = (7/42) ⇒ [(r)/(n – r +1)] =(1/6) ⇒ n−7r +1=0 → (2)
Từ (1) & (2), n = 55
Các ứng dụng của định lý nhị thức
Định lý nhị thức có rất nhiều ứng dụng trong Toán học như tìm số dư, tìm các chữ số của một số, v.v. Các ứng dụng phổ biến nhất của định lý nhị thức là:
Tìm phần còn lại bằng định lý nhị thức
Minh họa: Tìm số dư khi 7 103 chia cho 25
(7 103 / 25) = [7(49) 51/25 )] = [7(50 − 1) 51/25 ]
= [7(25K − 1) / 25] = [(175K – 25 + 25−7) / 25]
= [(25(7K − 1) + 18) / 25]
Số dư = 18.
Minh họa: Nếu phần phân số của số (2 403 / 15) là (K/15) thì tìm K.
(2 403 / 15) = [2 3 (2 4 ) 100 / 15]
= 8/15 (15 + 1) 100 = 8/15 (15λ + 1) = 8λ + 8/15
8λ là số nguyên, phần phân số = 8/15
Vì vậy, K = 8.
Tìm chữ số của một số
Minh họa: Tìm hai chữ số tận cùng của số (13) 10
(13) 10 = (169) 5 = (170 − 1) 5
= 5C 0 (170) 5 − 5C 1 (170) 4 + 5C 2 (170) 3 − 5C 3 (170) 2 + 5C 4 (170) − 5C 5
= 5C 0 (170) 5 − 5C 1 (170) 4 + 5C 2 (170) 3 − 5C 3 (170) 2 + 5(170) − 1
Bội số của 100 + 5(170) – 1 = 100K + 849
∴ Hai chữ số tận cùng là 49.
Quan hệ giữa hai số
Minh họa: Tìm số lớn hơn của 99 50 + 100 50 và 101 50
101 50 = (100 + 1) 50 = 100 50 + 50 . 100 49 + 25 . 49 . 100 48 + …
⇒ 99 50 = (100 − 1) 50 = 100 50 – 50 . 100 49 + 25 . 49 . 100 48 − ….
⇒ 101 50 – 99 50 = 2[50 . 100 49 + 25(49) (16) 100 47 + …]
= 100 50 + 50 . 49 . 16 . 100 47 + … >100 50
∴ 101 50 – 99 50 > 100 50
⇒ 101 50 > 100 50 + 99 50
Phép chia hết
Minh họa: Chứng tỏ rằng 11 9 + 9 11 chia hết cho 10.
11 9 + 9 11 = (10 + 1) 9 + (10 − 1) 11
= (9C 0 . 10 9 + 9C 1 . 10 8 + … 9C 9 ) + (11C 0 . 10 11 − 11C 1 . 10 10 + … −11C 11 )
= 9C 0 . 10 9 + 9C 1 . 10 8 + … + 9C 8 . 10 + 1 + 10 11 − 11C 1 . 10 10 + … + 11C 10 . 10−1
= 10[9C 0 . 10 8 + 9C 1 . 10 7 + … + 9C 8 + 11C 0 . 10 10 − 11C 1 . 10 9 + … + 11C 10 ]
= 10K, chia hết cho 10.
Công thức:
- Số hạng trong khai triển của (x 1 + x 2 + … x r ) n là (n + r − 1)C r – 1
- Tổng các hệ số của (ax + by) n là (a + b) n
Nếu f(x) = (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + …. + a m x m ) n thì
- (a) Tổng các hệ số = f(1)
- (b) Tổng các hệ số lũy thừa chẵn của x là: [f(1) + f(−1)] / 2
- (c) Tổng các hệ số của lũy thừa lẻ của x là [f(1) − f(−1)]/2
Định lý nhị thức cho bất kỳ chỉ số nào
Cho n là số hữu tỉ và x là số thực sao cho | x | < 1 thì
.png)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.png)
.png)
Bài viết liên quan
09/01/2023
09/01/2023
09/01/2023
10/01/2023
16/01/2023
16/01/2023