Định lý tia phân giác góc là gì?Chứng minh định lý tia phân giác của góc

Định lý phân giác góc trong

Trong tam giác ABC, đường phân giác của góc cắt cạnh BC tại điểm D. Xem hình bên.

Theo định lý tia phân giác của góc, tỉ số đoạn thẳng BD so với DC bằng tỉ số độ dài cạnh AB với AC.

Ngược lại, khi một điểm D trên cạnh BC chia BC theo tỉ số đồng dạng với cạnh AC và AB thì tia phân giác của ∠ A là AD. Do đó, theo định lý, nếu D nằm trên cạnh BC, thì,

Ngược lại, khi một điểm D trên cạnh BC chia BC theo tỉ số đồng dạng với cạnh AC và AB thì tia phân giác của ∠ A là AD. Do đó, theo định lý, nếu D nằm trên cạnh BC, thì,

Nếu D nằm ngoài cạnh BC thì cần áp dụng góc có hướng và đoạn thẳng có hướng trong phép tính.

Định lý đường phân giác của góc được áp dụng khi biết độ dài cạnh và đường phân giác của góc.

Chứng minh định lý tia phân giác của góc

Chúng ta có thể dễ dàng chứng minh định lý phân giác góc bằng cách sử dụng lượng giác ở đây. Trong các tam giác ABD và ACD (trong hình trên), sử dụng  định luật sin , chúng ta có thể viết;

Các góc ∠ ADC và ∠ BDA tạo thành một cặp song song và do đó được gọi là các góc kề bù. 

Vì sin của các góc bù bằng nhau, do đó,

Sin ∠ BDA = Sin ∠ ADC …..(3)

Cũng, 

∠ DAC = ∠ BAD (AD là tia phân giác của góc)  

Như vậy, 

Sin ∠ BDA = Sin ∠ ADC …(4)

Do đó, từ phương trình 3 và 4 ta có thể nói RHS của phương trình 1 và 2 bằng nhau nên LHS cũng sẽ bằng nhau.

Do đó, định lý phân giác góc được chứng minh. 

Điều kiện:

Nếu các góc ∠ DAC và ∠ BAD không bằng nhau, phương trình 1 và phương trình 2 có thể được viết là:

Điều này sắp xếp lại để xem tổng quát của định lý.

Nghịch đảo Định lý tia phân giác của góc

Trong một tam giác, nếu điểm trong cách đều hai cạnh của tam giác thì điểm đó nằm trên tia phân giác của góc tạo bởi hai đoạn thẳng đó.

Định lý đường phân giác của tam giác

Kéo dài cạnh CA cắt BE cắt nhau tại E sao cho BE//AD.

Bây giờ chúng ta có thể viết,

CD/DB = CA/AE (kể từ AD//BE) —-(1)

∠4 = ∠1 [góc tương ứng]

∠1 = ∠2 [AD chia đôi góc CAB]

∠2 = ∠3 [Các góc trong xen kẽ]

∠3 = ∠4 [Theo tính chất bắc cầu]

ΔABE là tam giác cân có AE=AB 

Bây giờ nếu chúng ta thay thế AE bằng AB trong phương trình 1, chúng ta sẽ nhận được;

CD/DB = CA/AB

Do đó chứng minh.

Định lý đường phân giác vuông góc

Theo định lý này, nếu một điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng trong một tam giác thì nó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. 

Ngoài ra, chúng ta có thể nói, đường phân giác vuông góc chia đoạn thẳng đã cho thành hai phần bằng nhau và nó vuông góc với nó. Trong tam giác, nếu vẽ một đường phân giác vuông góc từ đỉnh này sang cạnh đối diện thì nó chia đoạn thẳng đó thành hai đoạn thẳng bằng nhau.

Trong hình trên, đoạn thẳng SI là đường trung trực của WM.

Định lý tia phân giác góc ngoài

Đường phân giác của góc ngoài của một tam giác chia cạnh đối diện ra ngoài theo tỉ số của các cạnh chứa góc đó. Điều kiện này thường xảy ra trong các tam giác không đều.

Bằng chứng

Cho: Cho ΔABC, AD là tia phân giác ngoài của ∠BAC và cắt BC tại D. 

Chứng minh: BD/DC = AB/AC

Cách dựng: Vẽ CE ∥ DA cắt AB tại E

Vì, CE ∥ DA và AC là đường ngang, do đó, 

∠ECA = ∠CAD (các góc xen kẽ)……(1)

Một lần nữa, CE ∥ DA và BP là một đường ngang, do đó,

∠CEA = ∠DAP (các góc tương ứng) —–(2)

Mà AD là tia phân giác của ∠CAP nên 

∠CAD = ∠DAP —–(3)

Như chúng ta đã biết, Các cạnh đối diện với các góc bằng nhau thì bằng nhau, do đó,

∠CEA = ∠ECA

Trong ΔBDA, EC ∥ AD. 

BD/DC = BA/AE [Theo Định lý Thales]

AE = AC, 

BD/DC = BA/AC

Do đó, chứng minh.

Các ví dụ đã giải về Định lý tia phân giác góc

Xem qua các ví dụ sau để hiểu khái niệm định lý đường phân giác của góc.

Ví dụ 1:

Tìm giá trị của x để tam giác đã cho sử dụng định lý đường phân giác của một góc.

Giải pháp:

Cho rằng,

AD = 12, AC = 18, BC=24, DB = x

Theo định lý tia phân giác của góc thì 

AD/AC = DB/BC

Bây giờ thay thế các giá trị, chúng tôi nhận được

18/12 = x/24

X = (⅔)24

x = 2(8)

x= 16

Do đó, giá trị của x là 16.

Ví dụ 2:

ABCD là tứ giác có các đường phân giác của góc B và góc D cắt AC tại E. Chứng minh rằng AB/BC = AD/DC

Giải pháp:

Từ hình vẽ đã cho, đoạn DE là tia phân giác của góc D và BE là tia phân giác trong của góc B.

Do đó, áp dụng định lý đường phân giác trong của góc, ta được

AE/EC = AD/DC ….(1)

Tương tự, 

AE/EC = AB/BC….(2)

Từ phương trình (1) và (2), chúng ta có được

 AB/BC = AD/DC

Do đó, AB/BC = AD/DC được chứng minh.

Ví dụ 3 .

Trong một tam giác, AE là tia phân giác của ∠CAD cắt BC tại E. Nếu giá trị của AB = 10 cm, AC = 6 cm và BC = 12 cm, hãy tìm giá trị của CE.

Giải pháp:

Cho : AB = 10 cm, AC = 6 cm và BC = 12 cm

Gọi CE bằng x.

Theo định lý phân giác góc ngoài, ta biết rằng,

BE/CE = AB/AC

(12 + x) / x = 10/6

6( 12 + x ) = 10 x [ nhân chéo]

72 + 6x = 10x

72 = 10x – 6x

72 = 4x

x = 72/4

x = 18

CE = 18 cm

Để tìm hiểu thêm các định lý Toán học quan trọng, hãy truy cập BYJU'S – Ứng dụng Học tập và tìm hiểu tất cả các khái niệm một cách dễ dàng.

Câu hỏi  về định lý tia phân giác góc