Định lý phần dư | Định lý phần dư của đa thức | Chứng minh định lý phần dư

Phần còn lại đã thu được này thực sự là một giá trị của P(x) tại x = a, cụ thể là P(a) . Vì vậy, về cơ bản, x -a là ước của P(x) khi và chỉ khi P(a) = 0. Nó được áp dụng để phân tích thành nhân tử cho các đa thức của mỗi bậc một cách tinh tế.

Ví dụ: nếu f(a) = a ³ -12a ² -42 chia cho (a-3) thì thương sẽ là ² -9a-27 và số dư là -123.

nếu chúng ta đặt, a-3 = 0

thì a = 3

Do đó, f(a) = f(3) = -123

Do đó, nó thỏa mãn định lý phần dư.

Định nghĩa định lý phần dư

Định lý Phần dư bắt đầu với một đa thức p(x), trong đó “p(x)” là một đa thức p nào đó có biến là x. Sau đó, theo định lý, chia đa thức p(x) đó cho một thừa số tuyến tính x – a, trong đó a chỉ là một số nào đó. Ở đây trải qua một phép chia đa thức dài, dẫn đến một số đa thức q(x) (biến “q” là viết tắt của “đa thức thương”) và phần dư của đa thức là r(x). Nó có thể được thể hiện như sau:

p(x)/xa = q(x) + r(x)

Định lý thừa số

Định lý nhân tử thường được áp dụng để phân tích nhân tử và tìm nghiệm của các phương trình đa thức. Đây là dạng đảo ngược của định lý phần dư. Các vấn đề được giải quyết dựa trên việc áp dụng phép chia tổng hợp và sau đó để kiểm tra xem phần còn lại bằng không.

Khi p(x) = 0 thì yx là nhân tử của đa thức Hoặc nếu xét theo cách khác thì Khi yx là nhân tử của đa thức thì p(x) = 0

Chứng minh định lý phần dư

Định lý hoạt động trên một trường hợp thực tế mà một đa thức có thể chia toàn diện, ít nhất một lần cho nhân tử của nó để nhận được một đa thức nhỏ hơn và phần dư 'a' bằng 0. Đây là một trong những cách đơn giản nhất để xác định xem giá trị 'a' có phải là nghiệm của đa thức P(x) hay không .

Đó là khi chúng ta chia p(x) cho xa chúng ta thu được

p(x) = (xa)·q(x) + r(x),

như chúng ta biết rằng Cổ tức = (Số chia × Thương) + Số dư

Nhưng nếu r(x) chỉ đơn giản là hằng số r (hãy nhớ rằng khi chúng ta chia cho (xa) thì phần dư là một hằng số)…. vì vậy chúng tôi có được giải pháp sau đây, tức là

p(x) = (xa)·q(x) + r

Quan sát điều gì xảy ra khi chúng ta có x bằng a:

p(a) = (aa)·q(a) + r

p(a) = (0)·q(a) + r

p(a) = r

Do đó, chứng minh.

Các bước để chia một đa thức cho một đa thức khác không

• Đầu tiên, sắp xếp các đa thức (số bị chia và số chia) theo thứ tự giảm dần của bậc của nó
• Chia số hạng đầu tiên của số bị chia cho số hạng đầu tiên của số chia để được số hạng đầu tiên của thương
• Nhân số chia với số hạng đầu tiên của thương và lấy tích này trừ đi số bị chia để được phần còn lại.
• Phần còn lại này là cổ tức bây giờ và số chia sẽ giữ nguyên
• Một lần nữa lặp lại từ bước đầu tiên, cho đến khi bậc của số bị chia mới nhỏ hơn bậc của số chia.

Định lý còn lại của đa thức

Hãy để chúng tôi hiểu định lý phần còn lại trong đa thức với ví dụ được đưa ra dưới đây:

Chia 3x ³ + x ² + 2x + 5 cho x + 1.

Giải pháp:

Từ cái đã cho,

Cổ tức = p(x) = 3x ³  + x ²  + 2x + 5

Số chia = g(x) = (x + 1)

Ở đây, thương = q(x) = 3x ²  – 2x + 4

Số dư = r(x) = 1

Xác minh:

Cho biết ước là (x + 1), tức là nó là nhân tử của đa thức p(x) đã cho.

Cho x + 1 = 0

x = -1

Thay x = -1 vào p(x),

p(-1) = 3(-1) ³  + (-1) ²  + 2(-1) + 5

= 3(-1) + 1 – 2 + 5

= -3 + 4

= 1

Phần dư = Giá trị của p(x) tại x = -1.

Từ đó chứng minh định lý phần dư.

Ngoài ra,

p(x) = (x – a)·q(x) + r

Quan sát điều gì xảy ra khi chúng ta có x bằng a:

p(a) = (a – a)·q(a) + r

Thay thế các giá trị,

p(-1) = [-1 – (-1)]·q(-1) + (-1)

p(-1) = 0. q(-1) –

p(-1) = -1

p(-1) = số dư

Do đó chứng minh.

Vấn đề định lý phần dư

Hãy xem xét ví dụ sau: -

Ví dụ- Xác định rằng x = 1 là một nghiệm của P(x),

Giải trình:

Nó gợi ý rằng x = 1 có thể là nghiệm của P(x) và (x – 1) có thể là nhân tử của P(x)

Sau đó, nếu chúng ta có xu hướng chia tổng hợp từ P(x) cho (x – 1), chúng ta sẽ nhận được một đa thức mới nhỏ hơn và phần còn lại bằng 0: