Định lý Talet và Tam giác đồng dạng | Định lý giới hạn trung tâm

Phát biểu định lý Talet

Bây giờ chúng ta hãy phát biểu Định lý tỷ lệ cơ bản như sau:

Nếu kẻ một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác cắt hai cạnh còn lại tại các điểm phân biệt thì hai cạnh còn lại được chia theo tỉ số như nhau.

Chứng minh định lý talet

Bây giờ chúng ta thử chứng minh phát biểu định lý tỷ lệ cơ bản

Xét tam giác ΔABC, như thể hiện trong hình đã cho. Trong tam giác này, ta vẽ đường thẳng PQ song song với cạnh BC của ΔABC và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P và Q.

Theo định lý tỉ lệ cơ bản như đã nêu ở trên, ta cần chứng minh:

AP/PB  = AQ/QC

Đề bài

Nối đỉnh B của ΔABC với Q và đỉnh C với P để tạo thành các đường thẳng BQ và CP rồi hạ QN vuông góc với cạnh AB đồng thời vẽ PM⊥AC như hình vẽ đã cho.

Chứng minh

Bây giờ diện tích của ∆APQ = 1/2 × AP × QN (Vì diện tích tam giác = 1/2× Đáy × Chiều cao)

Tương tự, diện tích của ∆PBQ= 1/2 × PB × QN

diện tích của ∆APQ = 1/2 × AQ × PM

Ngoài ra, diện tích ∆QCP = 1/2 × QC × PM ………… (1)

Bây giờ, nếu chúng ta tìm tỉ số diện tích của các tam giác ∆APQ và ∆PBQ, chúng ta có

Theo tính chất của tam giác, các tam giác nằm giữa các đường thẳng song song giống nhau và nằm trên cùng một đáy thì có diện tích bằng nhau.

Do đó, có thể nói ∆PBQ và QCP có cùng diện tích.

diện tích ∆PBQ = diện tích ∆QCP …………..(3)

Do đó, từ các phương trình (1), (2) và (3), chúng ta có thể nói rằng,

AP/PB = AQ/QC

Ngoài ra, ∆ABC và ∆APQ thỏa mãn điều kiện đồng dạng của các tam giác như đã nêu ở trên. Do đó, ta có thể nói rằng ∆ABC ~∆APQ.

Định lý MidPoint là một trường hợp đặc biệt của định lý tỷ lệ cơ bản.

Theo định lý trung điểm, đường thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba.

Xét ∆ABC.

Từ định lý trên ta đi đến các kết luận sau:

Nếu P và Q là trung điểm của AB và AC thì PQ || trước công nguyên. Chúng ta có thể phát biểu điều này một cách toán học như sau:

Nếu P và Q là các điểm trên AB và AC sao cho AP = PB = 1/2 (AB) và AQ = QC = 1/2 (AC) thì PQ || trước công nguyên.

Ngoài ra, điều ngược lại của định lý trung điểm cũng đúng, phát biểu rằng đường thẳng vẽ qua trung điểm của một cạnh của tam giác song song với cạnh kia thì chia đôi cạnh thứ ba của tam giác.

Do đó, định lý tỷ lệ cơ bản được chứng minh.

Nghịch đảo của Định lý Talet

Theo định lý này, nếu một đường thẳng chia hai cạnh bất kỳ của một tam giác theo cùng một tỷ số thì đường thẳng đó song song với cạnh thứ ba.

Chứng minh

Giả sử đường thẳng DE cắt hai cạnh của tam giác AB và AC tại D và E sao cho;

AD/DB = AE/EC……(1)

Giả sử DE không song song với BC. Vẽ đoạn thẳng DE' song song với BC.

Do đó, do các tam giác đồng dạng,

AD/DB = AE'/E'C……(2)

Từ phương trình. 1 và 2, chúng tôi nhận được;

AE/EC = AE'/E'C

Thêm 1 vào cả hai bên;

AE/EC + 1 = AE'/E'C +1

(AE +EC)/EC = (AE'+E'C)/E'C

AC/EC = AC/E'C

Vì vậy, EC = E'C

Điều này chỉ có thể xảy ra khi E và E' trùng nhau.

Nhưng, DE' || trước công nguyên

Do đó, DE||BC.

Do đó, chứng minh.

Các ví dụ đã có lời giải

1. Cho ∆ABC, các cạnh AB và AC lần lượt cắt nhau tại D và E song song với cạnh BC. Chứng minh rằng AD/AB = AE/AC.

Lời giải: Cho trước,

ĐE|| trước công nguyên

Vì vậy, AD/DB = AE/EC

hoặc chúng ta có thể trao đổi các tỷ lệ như;

DB/AD = EC/AE

Bây giờ, thêm 1 vào cả hai bên;

(DB/AD) + 1 = (EC/AE) + 1

(DB + AD)/AD = (EC + AE)/AE

AB/AD = AC/AE

Nếu chúng ta trao đổi các tỷ lệ một lần nữa, chúng ta sẽ nhận được;

AD/AB = AE/AC

Do đó, chứng minh.

2. Giả sử tam giác ABC có DE là đoạn thẳng kẻ từ trung điểm của AB và cắt trung điểm của AC tại E. AD/DB = AE/EC và ∠ADE = ∠ACB. Sau đó chứng minh ABC là tam giác cân.

Lời giải: Cho trước, 

AD/DB = AE/EC

Theo chiều ngược lại của định lý tỷ lệ cơ bản, chúng ta có được;

ĐE|| trước công nguyên

Nhưng nó được cho rằng,

∠ADE = ∠ACB

Vì thế,

∠ABC = ∠ACB

Cạnh đối diện với các góc bằng nhau cũng bằng nhau.

AB = AC

Do đó ABC là tam giác cân.

Định lý Talet là gì?

Ai đã giới thiệu định lý Talet?

Hệ quả của định lý BPT là gì?

Tên gọi khác của Định lý tỷ lệ cơ bản là gì?

Điều kiện để hai tam giác đồng dạng là gì?

Các tam giác đồng dạng có cùng kích thước không?

Xác định định lý giới hạn trung tâm

Định lý giới hạn trung tâm xác định rằng giá trị trung bình của tất cả các mẫu đã cho của tổng thể bằng với giá trị trung bình của tổng thể (xấp xỉ) nếu cỡ mẫu đủ lớn với một biến thể hữu hạn. Đó là một trong những chủ đề chính của thống kê.

Trong bài viết này, chúng ta hãy thảo luận về “ Định lý giới hạn trung tâm ” với sự trợ giúp của một ví dụ để hiểu rõ hơn về khái niệm này.

Định nghĩa định lý giới hạn trung tâm

Định lý giới hạn trung tâm (CLT) phát biểu rằng phân phối của một mẫu có nghĩa là xấp xỉ với phân phối chuẩn, khi kích thước mẫu trở nên lớn hơn, giả sử rằng tất cả các mẫu đều giống nhau và bất kể hình dạng của phân bố dân số.

Định lý giới hạn trung tâm Ví dụ

Chúng ta hãy lấy một ví dụ để hiểu khái niệm Định lý giới hạn trung tâm (CLT):

Giả sử trường của bạn có 10 đội (Thể thao). Mỗi đội sẽ có 100 học sinh trong đó. Bây giờ, chúng tôi muốn đo chiều cao trung bình của các học sinh trong đội thể thao. Cách đơn giản nhất để làm là tìm chiều cao trung bình của chúng. Bước đầu tiên trong việc này sẽ là đo trọng lượng của từng học sinh và sau đó cộng chúng lại. Sau đó, chia tổng trọng số của họ với tổng số học sinh. Bằng cách này, chúng ta sẽ có được chiều cao trung bình. Nhưng phương pháp này sẽ không có ý nghĩa đối với các phép tính dài vì nó sẽ rất dài và mệt mỏi.

Vì vậy, chúng tôi sẽ sử dụng CTL (Định lý giới hạn trung tâm) để thực hiện phép tính dễ dàng. Trong phương pháp này, chúng tôi sẽ chọn ngẫu nhiên học sinh từ các đội khác nhau và làm mẫu. Mỗi mẫu sẽ gồm 20 học sinh. Sau đó, chúng tôi sẽ làm theo các bước sau để giải quyết nó.

1. Lấy tất cả các mẫu này và tìm giá trị trung bình cho từng mẫu riêng lẻ.
2. Bây giờ, Tìm giá trị trung bình của phương tiện mẫu.
3. Bằng cách này, chúng ta sẽ có được chiều cao trung bình gần đúng của các học sinh trong đội thể thao.
4. Chúng ta sẽ có hình dạng đường cong hình chuông nếu chúng ta tìm thấy biểu đồ của các chiều cao trung bình mẫu này.

Lưu ý: Mẫu lấy phải đủ cỡ. Khi kích thước mẫu trở nên lớn hơn, mẫu có nghĩa là phân phối sẽ trở nên bình thường khi chúng tôi tính toán nó bằng cách lấy mẫu lặp lại.

Công thức định lý giới hạn trung tâm

Định lý giới hạn trung tâm có thể áp dụng cho cỡ mẫu đủ lớn (n≥30). Công thức cho định lý giới hạn trung tâm có thể được phát biểu như sau:

Ở đâu,

μ = Dân số trung bình

σ = Độ lệch chuẩn dân số

μ _x = Giá trị trung bình của mẫu

σ _x = Độ lệch chuẩn mẫu

n = Cỡ mẫu

Các ứng dụng của Định lý giới hạn trung tâm